图灵的秘密 - 书评

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　　图灵机是英国数学家阿兰图灵提出的一种抽象计算模型，本书深入剖析了图灵这篇描述图灵机和可计算性的原始论文《论可计算数及其在判定性问题上的应用》。书中在详解论文的同时，也附带了大量的历史背景资料、图灵 ...

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Silver

　　鉴于是科普向就不发博客了..
　　
　　微积分发明后, 全欧洲的数学物理学家们疯狂的享受这种方法带来的方便. 那时的数学是带有浓厚的应用目的的, 几乎所有数学都是为解物理问题而存在, 人们用微积分求解物体间的作用, 天体的运动, 却未顾及方法的严谨性. 即使有怀疑的声音, 人们还是随意对无穷进行运算, 对级数进行求和. 直到这股声音越来越大, 19世纪前中期, 以Weierstrass为代表的严格派, 将所有微积分知识用严格的数学定义给出, 包括极限的epsilon-delta定义, 级数的收敛与一致收敛的区别. 至此,  分析学有了严格基础, 人们认识到严格的必要性.
　　
　　公理的出现可以追溯到Euclid的几何原本, 其第五公设一直让人不爽. 无数人试图证明它, 其中有不少人甚至已经在努力中触到了非欧几何的大门. Gauss就是最早的这些人之一, 但以他当时显赫的地位, 依然不敢深入研究发表其结论. 勇士Lobachevsky站了出来, 宣传非欧几何, 给19世纪中叶带来了怀疑公理的思想风暴. 天才Riemann真正看清楚了这一切, 自<论奠定几何学基础之假设>这次演讲后, Riemann将几何统一到了Riemann几何的框架内, 让人们看到其实一直以来, 旧的公理所决定的几何只是一些微不足道的特例. 当然, Riemann几何真正得到应用是在Einstein之后, 他能够在19世纪中期就得到认可, 表明那时的数学已渐渐独立于物理世界, 开始变得抽象了.
　　
　　另一个不得不提的人是天才Galois, 在他死后20年, 他的群论这一伟大想法为世人所知, 从此初等算术走向了现代的代数. 通过抽象化, 人们能够跳出对具体数学对象的研究, 而得以研究对象的群体: 它们的结构, 变化, 甚至群体的运算.
　　
　　至此,十九世纪中后期, 代数, 几何, 分析这三大根基已奠定, 严格化, 公理化, 形式化思想的重要性被认可, 数学即将赢来根本上的变革.
　　
　　引发这场风暴的是Georg Cantor, 人类历史上第一个理解了无穷的人. 他告诉人们, 实数的无穷与整数, 有理数, 代数数的无穷有着本质上的不同, 这得到了许多人, 包括他的老师Kronecker, 数学大师Poincare的反对. 他的思想撼动了许多基础的数学哲学观念, 包括定义实数存在的意义,  对实数连续性的理解.
　　
　　Cantor为此给出的第二个证明, 就是传说中的Diagonalization, 对角线法. 其思想非常简单, 至多只需要如今的初中水平就可以看懂其证明.
　　对角线一词, 原本是指证明中寻找"第k个数的第k位", 画出了一条对角线. 但其本质是"将一个变量放在两个意义不同的位置", 或者更深入的描述为"将一个函数作为自己的参数". 之后这一类的方法都被称作对角线法, 尤其是被Godel与Turing所采用.
　　
　　公理化还在继续发展. Cantor之后, 19世纪初Russell悖论的出现和解决使得集合论得到了更加严密的公理化. 这时, Hilbert振臂一呼, 提出了Hilbert's Program: 我们要将数学彻底的形式化, 并且要证明它的公理是独立的, 且系统是完备的, 一致的, 可判定的.
　　
　　Hilbert开始研究逻辑, Godel与Turing的工作无疑都受到了这个时期Hilbert工作的影响. 当Hilbert自信满满的退休后不久, 第二个震惊世界的人, Kurt Godel, 发表了Godel1931, 声称:
　　
　　算术系统不可能同时是完备且一致的.
　　(推论)算术系统的一致性不能在系统内证明.
　　
　　Godel的证明中关键一步也是对角化: 他将一个命题的描述作为这个命题的变元, 构造出了自我矛盾的命题.
　　
　　此时, 完备与一致的问题已被解决, 对于"真"的可判定性也已经不可能了. Hilbert的唯一希望在于, 对于"可证明"的命题, 是否可以有方法加以判定.
　　
　　1936年, Turing与Church独立的粉碎了Hilbert计划.
　　
　　-----------------------------------好像历史有点多-----------------------------
　　
　　Turing1936这篇文章, 也即本书的内容, 大致可概括如下:
　　
　　首先定义出了一种机器, 在纸袋上根据其方格中的符号及自己的状态执行固定的操作, Turing称能被这种机器计算的数叫做"可计算数".
　　
　　Turing证明了这台机器的能力: 它能计算的数超级多, 基本包括我们所能用得到的所有数, 但可计算数却是可数的, 只是实数中的一小部分. 可数性的证明依赖于将机器的有限描述映射到整数上.
　　
　　Turing构造的证明了一台机器可以模拟另一台机器的运行.
　　
　　如果仅仅到此, Turing提出的计算模型及可计算数的概念, 已经足够伟大了, 然而精彩的还在后面.
　　
　　Turing证明了这台机器不能做什么: 他不能不加模拟的预测另一台机器的行为, 例如是否停机.
　　
　　这一证明依然用到了对角线方法. 事实上, Turing正是从"将Cantor对角线证明应用于可计算数上"这一方法出发, 给出了这一命题的第一个证明. 随后他又给出了一个更为直接的证明, 其中他继续使用对角线思想, 将一个机器作为这台机器自己的输入, 构造出了矛盾.  因此他才会说"得到了与Godel相似的结果".  另外, Church的lambda calculus也利用了对角线法, 将lambda函数作为自身的参数.
　　
　　Turing试图说服人们, Turing机的思考能力与人是相同的, 或者至少是与人的数学推理是相同的.
　　
　　最后, 作为一个其思想的应用, 他证明了谓词演算系统中的命题可解判定蕴含了停机问题可判定. 因此否定了Hilbert判定性问题.
　　
　　--------------------------------这本书讲了这么多东西--------------------------
　　
　　Cantor, Godel, Turing, 探索了无穷, 可知, 可解的极限. 这是近100多年来人类最深刻且严谨的哲学思考.
　　
　　最终两人精神病, 一人自杀, 即使如此, 他们的工作也不能不让人心生崇拜.
　　
　　我想拿@玑衡 的一篇我极爱的文章<面对面的办公室>的最后两段结尾:
　　
　　那时候，普林斯顿大学的数学楼和物理楼有一座天桥相连。爱因斯坦教授精神很好，每天穿梭天桥许多次在数学和物理之间来回奔跑。那是一个离我们遥远的伟大的科学年代，基础学科之间有许多天桥和地道相通，科学家从一个学科开始挖凿，最后挖到另一个学科的金矿。希尔伯特在世纪之初的著名演讲为几十年内的数学突飞猛进提供了指路牌，爱因斯坦1915年的广义相对论带来了一个崭新的宇宙观，一个个新化学元素接踵而至犹如上天的惊喜。集合论不过半个世纪，拓扑学才三十几年，量子力学二十年……在这个幸福的基础科学的时代，犹太人冯诺伊曼和同性恋图灵坐在面对面的办公室里，这两种备受歧视的身份将困扰他们一生，可是此时，他们心无旁骛只有一个愿望：做一个数学家、数学家、数学家。
　　
　　幸福的数学家。

shanxi

　　单纯的直觉终究不能令人信服，数学家讲究的是逻辑和证明。而要证明通用图灵机的存在，最直接的方法莫过于直接给出一个通用图灵机的实例。这并不简单，如果读者想尝试一下的话，我建议先尝试构造一个能做二进制加法的图灵机。为了降低难度，可以假设纸带上有第三种符号，表示空白，但即使如此，要构造一个能做加法的图灵机，远比想象中的困难。可想而知，通用图灵机的构造肯定更为复杂繁琐。即使是图灵，他在一开始给出的构造也是有问题的，而这些问题甚至在后来的勘误中也没有成功修正。比构造更麻烦的是证明给出的图灵机的确是一台通用图灵机，在图灵解决希尔伯特可判定性问题的论文中，有关通用图灵机的构造和证明占了相当大的篇幅。这部分非常繁复琐碎，而且其中还有错误，如果细细研读的话，绝对有诱发剧烈偏头痛的危险。
　　
　　幸运的是，无论细节多么复杂，图灵的想法还是被逻辑学家们接受了。一旦领会到图灵机的能力，接受了通用图灵机的构想，再检查几个能完成基本任务的图灵机之后，大部分数学家都会认为通用图灵机的确存在，尽管他们并不一定会细看图灵的详细构造。而现代电子计算机的发展，更是验证了通用图灵机的存在：每一台电脑都相当于一台通用图灵机。

Marius

　　《图灵的秘密》是关于图灵1936年那篇开创性论文的解读，内容很多很难，需要的背景知识包括数理逻辑，lambda演算，以及一些基本的数论。读完的笔记也许都会比原书多，这里想简洁或者宏观性地谈谈几个主角之间的“故事”。
　　
　　实际上说争论更准确。
　　
　　初（我目前所知道的），大神莱布尼兹有两个及其宏大，甚至伟大的想法（若能实现，即使代价是将微积分其拱手让给牛顿，莱布尼兹绝对认为也值）：
　　
　　1. 创造一种通用语言可以描述所有的数学问题
　　2. 找到一种解决用这种语言描述的问题的方法
　　
　　“元”语言似乎是第一个问题的方向，比如集合论和谓词逻辑。第二个问题更难，从某种哲学的角度来看，问题的表述与问题的解答是相关的 —— 描述好，答案自然好得出（这种观点被有限的事实证实，但显然无法被证明正确。实际上，这就像人身体吸收营养一样：身体无法直接吸收大白菜或者蛋白质，而是需要先分解，将其转换成为身体能够吸收的物质。对于知识或者想法也是一样，你从阅读中获得的只能成为信息，或者说是某种符号排列，想让它们变得对自己有意义，需要主动的思考，或者准备将是同构 —— 写作正是同构最有效的手段。理解就是变得有意义，一串对自己有意义的符号需要自己对原符号的主动重新的编排，好的编排就是好的写作，就是好的理解。写作是记忆，更是理解。），而最好的描述可以对其进行有限的，近乎机械式的转换而得到结果。这就是这个想法的伟大之处。
　　
　　这也是我们对“智慧”的终极拷问。这种自动推断答案的系统是否真正具备人类的智能？就像几个世纪前人们喜欢问人脑是内燃机一样，也许几个世纪以后的人会用同样的眼光看我们。类似的问题有类似的两派观点：
　　
　　1. 这种完全不知所谓的，只知道机械地进行符号操作的机器，虽然最终得出了答案，但它本身是机械的，根本不具备人类的智慧。
　　2. 你敢确定，人类的智慧不是类似的符号替换操作。
　　
　　在电脑之前我们认为象棋是人才能做的事情，是人聪明智慧的象征，但随着计算机技术的发展打败最厉害的人类已经不需要最厉害的计算机了。这也许不是说明象棋很简单，而是说明人类的智慧多么幼稚。我们很难将智能与简单的符号处理联系起来，也许因为它们根本就不是一回事，也许我们根本就没发现。大神们试图利用这套符号系统解决具体的数学问题，这个至少比象棋更能印证人类智慧的活动，真是伟大的尝试！
　　
　　但是，一般而言，伟大的另一层含义是不可能。
　　
　　希尔伯特继承了莱布尼兹的光荣传统，甚至接近了最终那个伟大的答案，然而就在一切似乎都已完满的前夜，哥德尔，一个在哥廷根上空徘徊的幽灵出现了。他认为 —— 其实是证明了通过1)创造出来的系统中，存在无法用2)解决的问题。鱼和熊掌不可兼得就是这个意思。具体而言，哥德尔证明下面两条定理：
　　
　　1. 任何相容的形式体系，只要蕴涵皮亚诺算术公理，就可以在其中构造在体系中既不能证明也不能否证的命题（即体系是不完备的）。
　　2. 任何相容的形式体系，只要蕴涵皮亚诺算术公理，它就不能用于证明它本身的相容性。
　　
　　如果说哥德尔是给希尔伯特的首次致命打击，那么图灵便是第二次致命打击，图灵认为 —— 其实也是证明了，不存在通用的过程来判定任一命题在一阶谓词逻辑系统是否可证。如果想象这四位主角之间的穿越体对话，可能会是这样：
　　
　　莱布尼兹：我有一个想法，不，事实上是两个，尽管本质上可能是一个：一套完美的语言系统能陈述并解决所有数学问题。
　　
　　希尔伯特：我完全认为你不是在说疯话，我几乎快要实现了你的想法，也许只差那么一点点了…，形式化公理系统不是人类的发明，而是上帝的发明，人类的发现。
　　
　　　哥德尔：希总，其实情况不是酱紫的…，这个系统中存在不能被证明的命题。
　　
　　希尔伯特：你说什么！？
　　
　　　哥德尔：…
　　
　　希尔伯特：… 好吧，你的论文没错。尽管如此，我们一定有能找到这种变态命题的方法，我的意思是，你懂的，一般性的方法。这样就能识别出这样的变态问题。
　　
　　　　图灵：没有。我是说，没有这样的通用方法。
　　
　　希尔伯特：wtf!!
　　
　　　　图灵：如果我们朝好的方向看，有一类问题是完全可以解出的，而且有通用解法。这样，莱两点至少部分被解决了。
　　
　　莱布尼兹：我部分接受，剩下的，家祭无忘告乃翁。
　　

无敌北

　　这本书对我来说真的很难读懂。看到大段大段的各种稀奇古怪的数学符号我就发求。但是这并不妨碍我从另一个角度来重新了解了图灵、数学、计算机….去年的时候曾听过Jeff讲过的一个session:《世界及宇宙的终极答案》。我敢确定至少一半的内容都是来自这本书。
　　图灵在论文中描述了一个想象出来的机器，用来论证数理逻辑中的一个问题，论文题目叫:<论可计算数及其在判定性问题中的应用>（On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem）。这个想象出来的机器被后人成为图灵机。
　　
　　
　　图灵在论文中让图灵机使用二进制，仅是觉得方便论证。后来研制的计算机有的使用十进制，有的使用二进制，直到冯诺依曼发表了一片论文论述了计算机使用二进制的可行性与优势后，二进制逐渐成为标准。
　　
　　如果一个集合可以与自然数意义对应起来，那么我们可以说这个集合是可数的。
　　正整数和偶数个数那个多些？答案是一样多。因为他们都是可数的。
　　那么有理数和无理数那个多？答案是无理数。因为无理数是不可数的。
　　
　　无理数属于实数的一部分。所以实数也是不可数的。这可以用对角线法来证明。
　　这是一个反证法。
　　我们假设实数是可数的。那么将0和1之间所有的实数都按照从小到大的顺序列出来。然后我们取第一个数的第一位、第二个数的第二位、第三个数的第三位…..即取对角线的数组成一个新的数。然后对这个数的每一位都加1,如果该位的值是9再加1后变成0。我们看看这个数是不是在已经枚举出来的列表中。列表中的第一个不是它，因为它比第一个数的第一位大1，第二个数也不是它，因为它比第二个数的第二位大…….这样遍历了整个列表发现这个新的数并不在列表中，也就是说我们根本无法将0和1之间的所有实数列举出来，因为我们总可以通过这个方法来找到一个新的实数。
　　
　　实数是无穷的。我们可以这样理解，世界上有数不清的数字，我们恰好找到了一些，并给它们起了一些名字，如整数，实数，有理数，但还有更多的数我们并不知道它们的存在，就算发现一个也算是意外。
　　
　　
　　一个图灵机无法通过程序判断另一个图灵机在限定的时间内停机。停机问题说明了图灵机的局限性，这也被很多人作为程序无法没有bug的借口。你无法写一个程序，来判断一段程序中是否没有任何bug。
　　
　　我们可以预知未来吗？根据图灵机理论，如果我们可以用确定的不含糊的步骤来描述出宇宙的发展，那么我们就可以将其作为输入到图灵机，得到未来。问题是我们如果要构造这个输入，差不多等于构造了一个新宇宙。
　　

beride

　　之所以没有选力荐不是因为书不够好，而是这本书对于大部分人来说很难全部读懂，我算是一个数学爱好者，虽然自己数学能力已经完全处于大学以下水平了。读这本书需要很多思考，毕竟他不是传记，不是故事，而是对一个完整的知识体系的详尽分析和解读，多谢作者在前面写了大量的补习知识，让读者可以先预热一下，而后一章一章的详细分析，就需要有足够的耐心和愿意深入思考才能跟上作者的思路以及论文里的细节。反正我看到子函数之后就开始觉得不容易了。后面已经开始速读之后再回头细看了。
　　
　　好东西，要耐心阅读。

飞林沙

　　其实这本书我并没有读完，因为到了第二部分，即使有了作者的解释和注释，图灵的论文也确实超出了我的能力范围之外了，把“可计算函数”一章的前半部分仔细读了三四遍之后还是读不懂之后，我不得不放弃了。但是这并不影响我仍然给这本书打五星力荐。
　　
　　先说这本书，我想如果没有Charles出这本书，没有苦口婆心地几乎是一行一行地去讲解图灵的论文，几乎没有人，至少没有一个程序员会去回过头来看这篇已经几十年前的充斥着自定义符号，甚至连数学符号都少见的论文。那么从这个角度来说，作者已经做出了极大的贡献。
　　
　　然后说图灵的论文，我想包括我在内，在读这本书之前，至少有90%的程序员只是听说过图灵，也许知道图灵测试和图灵机，但是并不知道图灵的论文中究竟写了什么内容，究竟在论证什么？当然，判定性问题，我更愿意把它归结到数学哲学的范畴，对于大多数程序员而言，数学和他们的关系都不大，更不用说数学哲学了，而对于一些经常和数学打交道的程序员来说，我想就我自身的经验，也完全不需要学什么数学哲学这类的东西。但是就像网上辩论数学的作用常说的，也许数学对大家的作用在于开阔思路和逻辑思维。
　　
　　在这里，我并不想去辩论程序员到底需不需要学数学，如果你觉得我不需要学数学，那么你可以把这本书束之高阁；如果你觉得学数学只是为了工作，例如算法啊，数据挖掘之类，那么你也可以把这本书束之高阁。如果你是真的喜欢数学这门学科，想感受数学之美，想通过数学来锻炼自己的逻辑思维，想培养自己对数学的兴趣，那么我郑重推荐这本书，而且是这本的纸质书，因为实在是需要反复地前后翻阅，电子书确实在这点上并不方便。
　　
　　最后，特别希望大家读完之后可以帮我把判定性问题的部分讲一讲，至少是大家一起讨论一下，因为我确实没有读懂。至于地址么。。。就在这篇书评下把。

Entele

　　今年是图灵诞辰100周年，全世界都在发起纪念图灵的活动，接连不断的纪念活动把这位孤僻、低调而伟大的天才置于聚光灯下，而近日霍金、马丁里斯等11位著名科学家致函英国首相卡梅伦，再次要求为图灵1954年的同性恋罪行平反。图灵的一生如此短暂，为什么却迸发出了这么耀眼的光芒，乃至100年后还有如此大的影响？
　　图灵的研究跨越多个领域，作为计算机、人工智能、复杂性理论等问题的开山鼻祖，功不可没，其中《论可计算数及其在判定性问题上的应用》一文可谓计算机领域的奠基之作，文中提出的图灵机模型为计算机的问世奠定了理论基础，本书就对图灵这篇描述图灵机和可计算性的原始论文进行了深入剖析。人是不是仅仅是一台计算机而已？这是图灵始终关心的问题，在之后的《计算机和智能》一文中图灵提出关于机器思维的问题和图灵测试的概念，至今仍有广泛的意义和影响。本书围绕图灵在计算、人工智能等主题上的贡献结合自己的思考做了延伸性的介绍，开阔视野，发人深思。
　　从利兹大学纪念图灵的网站上，人们可以看到图灵涉猎领域之广，影响范围之大。以目前人工智能、心理学、神经科学、心灵哲学等交叉领域最热门的意识研究相关问题为例，在今年6、7月份在加拿大蒙特利尔举办的纪念图灵的“意识的进化和功能”会议上，就吸引了Roy Baumeister等著名心理学家，Antonio Damasio、Wolf Singer等著名神经科学家以及Dennett、Searle等著名哲学家，大家齐聚一堂，畅所欲言，既是为了缅怀这位百年前诞生的天才，也是继续沿着他所奠基的道路探寻求索，永不停止地去追问“计算的本质是什么”“思维的本质是什么”“意识是什么”“宇宙是不是一台巨型计算机”、、、
　　除了在计算理论领域做出的卓越贡献，图灵还学以致用，小试牛刀，在二战期间破译了德军密码，这为盟军的胜利立下汗马功劳，同时他文武双全，是位奥运级别的马拉松健将，图灵的一生是解谜的一生，与谜相伴，他绞尽脑汁去解开计算之谜，思维之谜，也许还有那无法言说的爱情之谜，但同时他本身就是一个迷，在创造力正值巅峰之时突然离世，天妒英才，让人唏嘘。
　　了解图灵的秘密，走进图灵谜一样的思想世界，就从《图灵的秘密》这本书开始吧。

小凤

　　图灵是一个有爱、但遗落了爱的人，普通而悲情，坚定而脆弱。
　　
　　就像文章所言：“图灵将人与机器关联了起来”，这是当今人们记住他的最大原由。实际上，图灵的成就实在是影响巨大，任何赞美之词都可以毫无保留地送给他。
　　
　　图灵的归宿是如此悲情，为助力人类由工业时代迈向信息时代而做出卓越贡献的一代伟人，最终如此殒落，1万年后仍会让后人唏嘘不已。
　　
　　任何一个码农，都应该好好认识、了解图灵，这本《图灵的秘密》，在阿兰·图灵诞辰百年之际由图灵出版中文版，意义凸显。《图灵的秘密》带你了解图灵的生平及影响、创造和成果，作者是大牛Charles Petzold，大牛同样也是图灵崇拜者，在Charles Petzold的描述中，将带你穿越图灵的秘密，并长久驻足、瞩目于揭开了秘密的图灵世界。
　　
　　任何的伟大性创造、创新，都来自于不平凡的性格与经历，图灵为人类带来了巨大贡献，人们却把他推向绝路。真心希望，有谁能轻轻拿走那个苹果，如果图灵能像正常人那般活到80年代，相信他对世界的贡献将更多。生命只有一次，但多么希望可以重来。
　　
　　本文由2gua老师发表在图灵社区的文章节选
　　http://www.ituring.com.cn/article/17973

小凤

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　　        英国著名数学家、逻辑学家，阿兰图灵（1912—1954）是计算机和计算机科学的理论奠基人。他出生于1912年6月23日，被称为计算机科学之父、人工智能之父，提出了“图灵机”和“图灵测试”等重要概念。今年是他诞辰100周年。为了纪念他对计算机科学的伟大贡献，从年初到年底世界计算机界举行了一系列的纪念活动，并称2012年是图灵年（Alan Turing Year）。
　　
　　　　为此，图灵教育今年也特别推出了一本《图灵的秘密》并谨以此书纪念图灵诞辰百年，这本书深入剖析了图灵这篇描述图灵机和可计算性的原始论文《论可计算数及其在判定性问题上的应用》。书中在详解论文的同时，也附带了大量的历史背景资料、图灵的个人经历，以及图灵机对于人们理解计算机、人类意识和宇宙所产生的影响。 适合所有计算机科学专业的学生、程序员或其他技术人员，同时也适合欲了解图灵生平及其构建图灵机的思维的读者阅读。
　　
　　　　学习计算机有关专业和学科的学生，不应该不知晓图灵，在这个领域更应该出一个获得图灵奖的中国人！但令我们中国人感到遗憾的是我们国内培养成长的专家至今还没有一个在获奖名单中出现，获图灵奖的唯一一位华人是2000年得主姚期智博士(Chi-Chih Yao)。
　　
　　　　很多人都在思考：为什么我们培养不出高水平的能获得诺贝尔奖和图灵奖的科学家？今年在诺贝尔文学奖上，我国的著名作家莫言，一雪前耻，为我国夺得了诺贝尔文学奖，相信在不远的将来图灵奖也将会在中国诞生！
　　
　　　　现在《图灵的秘密》终于出版上市了，我们特举办一届“民间图灵奖”以鼓励广大计算机有关专业的人士等早日获得真正图灵奖，为国争光！